Forskarutbildning i matematik

Kontaktperson: Christian Engström

Partiella differentialekvationer (PDE) är viktiga verktyg för modellering av processer inom vetenskap och teknik. Många av de senaste PDE-modeller som används inom fysik, ekonomi och biologi inkluderar fraktionella derivator för att modellera stokastiska processer och termer som representerar en tidsfördröjning. I projektet studeras numeriska och analytiska metoder för (fraktionella) partiella differentialekvationer med minne. Syftet med projektet är att utveckla matematisk och numerisk analys som resulterar i robusta och mycket snabba numeriska metoder, vilka kan användas för att bygga digitala tvillingar av vår värld. Den matematiska teorin och de nya numeriska metoderna utgör en hörnsten i utvecklingen av effektiva maskininlärningsalgoritmer för PDE och optimering med PDE-bivillkor.

Det är inom projektet möjligt att fokusera på (i) effektiva numeriska metoder för tidsberoende problem som har tillämpningar på vetenskaplig maskininlärning och optimering (ii) ny spektralteori och funktionalanalys för operatorfunktioner som är relaterade till PDE med minne.

Projektet kommer att ge utbildning i modern analys eller numerisk analys med tillämpningar inom samtida vetenskap och teknik, vilket ger studenten färdigheter för att arbeta inom både industri och akademi.

Projektet är en del av ett mycket aktivt forskningsområde och doktoranden kommer att kunna dra nytta av befintliga samarbeten inom forskningsområdet med Durham University (UK), University of Zagreb (Croatia) och University of Bern (Switzerland).

Vi söker en motiverad, entusiastisk och nyfikenhetsdriven forskare. Du har, eller kommer snart att förvärva, en mastersexamen inom tillämpad matematik, matematisk analys eller från ett närliggande område. Du har god laganda och uppskattar att arbeta i en internationellt orienterad miljö.

Projektet är relaterat till flera pågående nationella och internationella projekt och grupperna:

Vetenskapliga beräkningar och partiella differentialekvationer

Deterministic and Stochastic Modelling

Kontaktperson: Joachim Toft

Pseudodifferentialoperatorer tillkom på 1930-talet inom kvantfysiken för kvantisering (d v s hitta lämpliga övergångar mellan observabler i klassisk mekanik och kvantmekanik). En pseudodifferentialkalkyl är en slags regel som överför en funktion, definierad på fasrummet till en operator. Denna funktion kallas för symbolen av operatorn. Funktionen motsvaras av en observabel klassisk mekanik och operatorn motsvaras av observabeln inom kvantmekanik.

Pseudodifferentialoperatorer föll något i glömska för att komma tillbaka på 1960-talet inom matematiken, inledningsvis för att hitta bekväma sätt att invertera vissa differentialoperatorer. Senare upptäcktes många fler användningsområden, t ex inom tidsfrekvensanalys och signalbehandling, där pseudodifferentialoperatorer används för att modellera ickestationära filter samt för att sortera bort brus.

Bargmanntransformen överför funktioner och (ultra)distributioner på R^n till analytiska funktioner, eller mer allmänt, potensserieutvecklingar på C^n. På motsvarande sätt kan operatorer överföras till s k analytiska pseudodifferentialoperatorer (även kallade Wickoperatorer). Idéer till detta kom på 1970-talet, men något ståndaktigt angreppsätt kring kontinuitet har först börjat utföras under de allra senaste åren. Fördelen med detta angreppsätt är att objekten som ingår är analytiska funktioner, som besitter många speciella strukturer, bekväma i beräkningar och tillämpningar.

I likhet med vanliga differentialoperatorer, utgår man ifrån en funktion (fortfarande kallad symbol) och ordnar en operator. För analytiska pseudodifferentialoperatorer, är emellertid både symbol och de funktioner operatorerna verkar på, analytiska funktioner.

Projektet syftar bl a till att:

1. Finna nya villkor på symbolerna till de analytiska pseudodifferentialoperatorerna, för att garantera vissa kontinuitetsegenskaper
2. Studera singulariteters utbredningsriktningar för dessa (en viss slags s k vågfrontsmängder).
3. Finna karakteriseringar för vissa slag av analytiska funktionsrum.

Vi söker en person med stor entusiasm och goda kunskaper inom matematisk analys. Extra meriterande är goda kunskaper och god förmåga att formulera sig väl i engelska.

Kontaktpersoner: Nacira Agram, Astrid Hilbert, Torsten Lindström, Roger Pettersson

Att formulera modeller med hjälp av system av differentialekvationer är ett standardförfarande för att ta i beaktande den totala effekten av flera olika samverkande processer. De lösningar som uppkommer är i allmänhet väldigt komplicerade. Kvalitativ analys går ut på att analysera väl valda egenskaper hos lösningarna i stället. Lösningarnas långtidsuppförande får betydelse i stället för lösningarna i sig.

System av differentialekvationer uppkommer i många olika tillämpningar och vi koncentrerar oss i första hand på ekologiska, epidemiologiska och ekonomiska system. I dessa system kan arter eller aktörer tex växelverka genom att konkurrera med varandra eller parasitera på varandra. I vissa fall kan man observera stora variationer över tid och i andra inte. Behoven att kunna reglera och optimera de betraktade systemen kan vara stora.

Orsakerna till variationerna har betydelse för möjligheterna att göra förutsägelser och styra de observerade systemen. Ibland existerar mekanismer som orsakar rent slumpmässiga utbrott och variationer som i epidemiologin medan system som beskriver näringskedjor kan ge upphov till deterministiska svängningar med betydligt större förutsägbarhet. Inom ekonomiska tillämpningar kan möjligheten till förutsägelser i vissa fall vara extremt dålig. Situationer där nuläget är den bästa framtidsprognosen kan uppstå.

Det finns naturligtvis ett flertal saker som man måste tänka på när man påbörjar analysen av ett system som potentiellt ger upphov till variation över tid. För det första är varje modell en förenkling av verkligheten och man måste fråga sig i vilken utsträckning de saker man valt att inte ta med i modellen kan påverka resultaten. Inom den kvalitativa analysen ha begreppet strukturstabilitet utvecklats för att hantera den här typen av bortval. Om modellen är strukturstabil så påverkas inte resultaten av små störningar som härrör från det som man valt att inte ta med. En annan fråga som ofta dyker upp är hur modellen klarar av att hantera sådana delar av systemet som kan isoleras och studeras separat. Olika sätt att säkerställa att en lämplig modell analyseras ingår i projektet.

En kvalitativ analys av en modells långtidsuppförande ger svar på en lång rad frågor men det finns ofta anledning att komplettera en sådan analys med numeriska simuleringar. Sådana simuleringar måste säkerställas genom att kräva att de sammanfaller med övrig analys. Eventuella avvikelser måste vara möjliga att förklara och ger ofta upphov till behov av ganska djupgående analyser av de algoritmer som används.

När man bygger upp ett system av differentialekvationer så utgår man från de mekanismer man väljer att ta med i ett system. Men var och en vet att ett barn kan lära sig cykla utan att veta något om relevanta balansekvationer. Om vi utgår från data, kan vi då bygga upp någon annan typ av modell med hjälp av statistiska modeller? Vilka kvalitativa egenskaper har modeller som byggs upp utgående från anpassning till data i förhållande till de modeller som byggs upp utgående från mekanismer och vilka begränsningar har nya områden som maskininlärning?

Kunskaper inom differentialekvationer, stokastiska processer och dynamiska system är viktiga för projektet.

Kontaktperson: Karl-Olof Lindahl

Förstärkningsinlärning är ett hett område inom maskininlärning och artificiell intelligens. Det används för att lösa komplexa optimeringsproblem som ligger till grund för avancerat beslutfattande inom optimal planering och drift av energisystem, resurshushållning, robotik, bildigenkänning, självkörande bilar, val av aktieportföljer, för att nämna några exempel. Man kan även säga att området handlar om att maximera framtida ackumulerad belöning över tid för ett intelligent system verkande i en miljö.

I projektet studeras speciellt fördelningsbaserad förstärkningsinlärning (DRL, distributional reinforcement learning). Den totala belöningen över tid karaktäriseras i dessa fall med en stokastisk variabel vars fördelningsfunktion man sedan försöker skatta. Inom mer klassisk förstärkningslinlärning fokuserar man på väntevärdet av denna fördelning snarare än själva fördelningen. Projektet tar avstamp i Bellemere, Dabney och Munos arbete "A Distributional perspective on Reinforcement Learning" där man motiverar varför fördelningsbaserad förstärkningsinlärning kan leda till bättre approximativ inlärning.

Utveckling, experiment, samt analys av algoritmer inom det här området inbegriper funktionalanalys (metriska rum, projektioner, transformer), sannolikhetslära och statistik (måtteori, stokastisk konvergens), optimeringslära och teori för neurala nätverk.

Datorexperiment i form av implementering och testning är ett viktigt inslag i forskningen och innebär en hel del programmeringsarbete.

I projektet utvecklas:

• Specialiserade algoritmer för maskininlärning
• Kod för implementering
• Teori och analysmetoder för robusthet

Projektet genomförs inom ramen för forskningstemat AI och maskininlärning för optimering och operationsanalys.