Projekt: Hörmander-Weylkalkyl för ultradistributioner
Projektet handlar om att utveckla en kalkyl med Weyloperatorer som skall fungera med mer svårhanterliga objekt än det normala. Det förväntas att denna kalkyl skall vara mindre känslig för geometriska strukturer kring problemställningar jämfört med motsvarande befintliga kalkyler.
Fakta om projektet
Projektledare
Joachim Toft
Övriga projektmedlemmar
Albin Petersson
Finansiär
Vetenskapsrådet
Tidsplan
1 jan 2020–31 dec 2023
Ämne
Matematik (Institutionen för matematik, Fakulteten för teknik)
Mer om projektet
Fasrummet är ett grundbegrepp i fysik och matematik som beskriver en partikels läge och rörelsemängd i två koordinater. Det har spelat en stor roll alltsedan Newtons upptäckt att partikelns rörelse i klassisk mekanik är bestämd av begynnelsekoordinaterna i fasrummet och krafter som påverkar partikeln.
Fasrummet har visat sig vara en god grund inte bara för den klassiska mekaniken, utan också för kvantmekanik, termodynamik och statistisk mekanik. Det tolkas i signalanalysen som tidsfrekvensplanet, som används för att beskriva signalers tidsvariabla frekvensinnehåll. Om signalen är musik så är beskrivningen partituret, där olika tonhöjder anges för olika tidpunkter.
Inte enbart inom fysiken utan även inom matematiken är fasrummet ett viktigt begrepp. Det används där bland annat i teorin för partiella differentialekvationer (PDE), vilket är ekvationer där förändringar i olika variabler relateras till varandra. Partiella differentialekvationer förekommer mycket ofta i fysik för att beskriva bland annat värme- och vågutbredning samt mikroskopiska fenomen i kvantmekaniken.
Pseudodifferentialkalkylen (PsDK) är en teori om pseudodifferentialoperatorer (PsDO) som har utvecklats sedan 1960-talet av Hörmander med flera, och som idag är ett viktigt instrument för att studera PDE och deras eventuella lösningar. Ofta är man intresserad av att veta om det finns en entydig lösning till ekvationer. PsDK har visat sig vara användbart i många tillämpningar, däribland kvantfysik, signalbehandling, bildbehandling, akustik, geofysik, tomografi, mobilkommunikation, radar och statistik.
Idén bakom PsDK är att studera operatorer genom en funktion, den så kallade symbolen, definierad på fasrummet. Varje differentialoperator har en symbol, och det är även ofta möjligt att finna en (approximativ) invers operator som är en PsDO. Den kan användas till att lösa differentialekvationen. Förenklat kan man säga att inversen på symbolnivån fås genom att dividera ett med operatorns symbol. På så sätt kan differentialekvationer lösas väsentligen genom division.
Under 1970-talet generaliserades symbolklasserna som används i PsDK i flera riktningar, vilket ledde till lösningar av flera problem som länge gäckat forskare, bland annat om villkor för PDE att över huvud taget ha en lösning. Detta kulminerade i Hörmanders arbete 1979 om Weylkalkylen för PsDO. Det utnyttjar Weyls metod att definiera en PsDO från en symbol på ett sätt som passar väl ihop med kvantmekanikens fundament.
Men arbetet införde även ett nytt sätt att beskriva symboler med så kallade metriker på fasrummet. Metriker på fasrummet är ett sätt att beskriva geometriska egenskaper hos fasrummet. Genom sin generalitet och flexibilitet ger Hörmanders Weylkalkyl som specialfall alla tidigare symbolklasser. Det har även visat sig vara ett kraftfullt verktyg för att lösa problem, exempelvis existens av lösningar till PDE. Metrikerna på fasrummet förutsätts uppfylla ett antal villkor varav några är relaterade till kvantmekanikens osäkerhetsprincip – det faktum att en partikel inte kan lokaliseras godtyckligt noggrant både till läge och hastighet. Det svarar i signalanalysen mot att en ton med väldefinierad frekvens måste ha en inte alltför kort varaktighet i tiden.
Hörmanders Weylkalkyl har vidareutvecklats framför allt av Bony, Chemin och Lerner på 1980- och 1990- talen. Denna utveckling har skett under antagandet att metrikerna är måttliga i meningen att de tillväxer högst polynomiellt. Det finns dock skäl att studera metriker som är mer extremt, exponentiellt, tillväxande. Anledningen är att vissa fundamentala ekvationer, till exempel värmeledningsekvationen, för sin fulla förståelse kräver sådana mer extrema metriker.
Projektet handlar om Hörmanders Weylkalkyl med nya och exponentiella metriker. En tillämpning kan komma att bli ökad förståelse för värmeutbredning bakåt i tiden. Det vill säga att man kan få kunskap, om än begränsad, om temperaturfördelningen som föregår den nuvarande. Notera att värmeutbredning är en diffusiv process vilket innebär starka begränsningar till att få reda på den exakta temperaturfördelningen i dåtid.